В общем случае операция конъюнкции может быть определена для любого числа аргументов: х1 & х2 & ... =
n |
& |
i = 1 |
106
Для дизъюнкции, конъюнкции и отрицания справедливы следующие логические выражения:
В алгебре логики действуют четыре основных закона: переместительный (коммутативный), сочетательный (ассоциативный), распределительный (дистрибутивный) и общей инверсии (правило или формула де Моргана). Приведем соотношения, отражающие эти законы.
1. Переместительный закон:
2.. Сочетательный закон:
3, Распределительный закон:
4. Закон общей инверсии (формула де Моргана):
Следует отметить, что все приведенные законы, кроме закона общей инверсии и распределительного закона для конъюнкции, полностью аналогичны соответствующим законам для сложения и умножения в обычной алгебре. Такая аналогия отсутствует для формулы де Моргана и для распределительного закона для конъюнкции. Их справедливость можно доказать с помощью таблиц истинности, вычисляя в них значения левой и правой частей доказываемого логического выражения для всех наборов логических переменных.
Докажем, например, справедливость формул де Моргана для дизъюнкции и конъюнкции. С этой целью составим таблицу для четырех наборов переменных x1 и х2, а затем в столбцах этой таблицы вычислим по соответствующим правилам алгебры логики значения левых и правых частей доказываемых формул. Полученные результаты сведем в таблицу.
107
* | ** | * | ** | ||||||
x1 | x2 | x1 ? x2 | x1 ? x2 | x1 & x2 | x1 ? x2 | x1 | x2 | x1 & x2 | x1 ? x1 |
0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |